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【新智元导读】对于60年的几何学贫困周期性密铺问题，陶哲轩最近又有新破裂了。
陶哲轩一直在商量的周期性密铺问题，又有新破裂了。
9月18日，陶哲轩和Rachel Greenfeld将预印本论文《平移单密铺的不可判定性 (Undecidability of translational monotilings)》上传到了arXiv。
这篇论文的主要论断是，若是网格的维数是无界的，那么细目网格的有限子集是否不错平铺该网格的周期子集的问题，即是不可判定的。
要知说念，此问题在维度1和维度2中是可判定的。
陶哲轩深入，有点奇怪的是，文中所解说的大巨额组件皆跟流行的游戏肖似——
多米诺骨牌的密铺肖似物，数独，电脑游戏「俄罗斯方块」，致使连儿童游戏「Fizz buzz」皆出现了。
为什么商量一个数知识题，会触及到这样多游戏呢？陶哲轩也无法解释。
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平移单密铺的不可判定性
此次的论文，是两东说念主上一篇论文的续集。勾通 周期性密铺问题
在上篇论文中，他们构建了一个高维网格的平移单密铺
www.kingofcasinossitezonezone.com（因此单密铺是一个有限鸠合 ），它辱骂周期性的（莫得方针将这个密铺「成立」成周期性密铺，其中现时相对于有限索绪论群是周期性的)。
这就反驳了Stein、Grunbaum-Shephard和Lagarias-Wang的周期性密铺预计，他们断言这种非周期性密铺单体不存在。
（「帽子单密铺」是一种最近发现的非周期等距单密铺，在这种单密铺中，不错允许使用旋转、反射以及平移，大概更新的「阴灵单片」。上述单片与帽子单密铺相同，除了不需要反射）。
引发陶哲轩和Rachel Greenfeld这个预计的原因之一，是数学家Hao Wang的不雅察。
他发现，若是周期密铺预计为真，那么平移密铺问题在算法上是可判定的——
有一个图灵机，对于，当给定一个维度和一个有限子集时，不错在有限的时辰内细目是否不错密铺。
这是因为若是存在周期性密铺，就不错通过贪图机搜索找到它。
若是根底不存在密铺澳门炸金花，那么通过紧致性定理可知，存在一些有限的子集，这些子集不成被不相交的平移所隐秘，这也不错通过贪图机搜索来发现。
周期性密铺预计断言这是仅有的两种可能的情况，从而给出了可判定性。
另一方面，Wang的论点是不可逆的：周期性密铺预计的失败，并不自动意味着平移单密铺问题的不可判定性，因为它不打消存在一些其他算法来细目密铺，这种密铺不错不依赖于周期性密铺的存在。
（举例，即使有新发现的帽子和阴灵密铺，对于中有理通盘的多边形的等距单密铺问题是否是可判定的，仍然是一个悬而未决的问题，岂论它有莫得反射。
本文的主要恶果措置了这个问题（有一个警戒）：
定理1
不存在职何算法，对于，给定一个维度，一个周期性子集，和一个有限子集，能在有限时辰内细目是否存在一个平移密铺。
需要正式的是，必须使用的周期性子集，而不是一起的；这在很猛进程上是由于这种门径的技能界限，而况很可能通过稀奇的奋力和创造力来摒除。
另外，陶哲轩和Rachel Greenfeld还正式到，当，周期性密铺预计是由Bhattacharya树立的，因此在这种情况下问题可判定。
对于任何的固定值，密铺问题是否可判定仍然是洞开的（正式，在上头的恶果中，维度不是固定的，而是输入的一部分）。
由于算法不可判定性和逻辑不可判定性（也称为逻辑孤独性）之间存在家喻户晓的研究，此定理还示意了存在一个（原则上明确可形貌的）维度、的周期性子集，的有限子集，使得能通过平移密铺不成在ZFC鸠合论中被阐发或证伪（虽然假定这个表面是一致的）。
行动这种门径的恶果，咱们也不错在这里用「真实二维」群来代替，其中是一个有限阿贝尔群（现时成为输入的一部分，代替维度）。
接下来，形貌解说的一些主要想想。
解说某个问题不可判定的常用门径是，将已知不可判定的其他问题「编码」到原始问题中，这样，任何判定原始问题的算法也能判定镶嵌的问题。
因此，咱们将 Wang密铺问题编码为单密铺问题：
问题2（Wang密铺问题）
给定一个有限的王氏密铺鸠合（单元正方形，每条边皆从有限调色板中指定了某种样式），是否有可能用法子的格通过平移来密铺平面，使得相邻的密铺在共同旯旮上具有疏导的样式？
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Berger曾给出一个著明的恶果，即这个问题是不可判定的。
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将这一问题镶嵌高维平移单密铺问题需要历程一些中间问题。
最初，咱们不错很容易地将王氏密铺问题镶嵌到一个肖似的问题中，咱们称之为多米诺骨牌问题：
问题 3（多米诺骨牌问题）
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给定一个水平（或垂直）的多米诺骨牌的有限鸠合或，它们是一双相邻的单元正方形，每个单元正方形皆用有限鸠合中的一个元素点来点缀，是否不错在法子格密铺中为每个单元正方形分拨一个点，使得这个密铺中的每一双水平（或垂直）的方格皆能用到来自或的多米诺骨牌？
事实上，咱们只需要将每个王氏密铺行动一个单独的「点」插入，并界说多米诺骨牌集，为水平或垂直相邻、旯旮具有疏导样式的王氏密铺对。
接下来，将多米诺骨牌问题镶嵌到数独问题中：
问题 4（数独问题）
的鸠合和「开动要求」（在这里就概略备先容了），是否不错为「数独棋盘」中的每个单元格分拨一个数字，以便对于任何斜率和截距，沿着线的数字位于中（而况谨守开动要求）？
这篇论文最新颖的部分是解说了多米诺骨牌问题照实不错镶嵌到数独问题中。
将数独问题镶嵌到单密铺问题中，源于之前论文中修改的门径。
这些论文也引入了数独问题的版块，并创造了一种「密铺谈话」，可用于把各式问题（包括数独问题）「编码」为单密铺问题。
要将多米诺骨牌问题编码为数独问题，咱们需要取得一个多米诺函数
（顺从与某些多米诺骨牌集干系的多米诺骨牌敛迹），并使用它来构建数独函数（顺从与多米诺骨牌集干系的一些数独敛迹）；反过来说，每个顺从数独谜题轨则的数独函数，皆必须以某种面目从多米诺函数中产生。
这种作念法并不是很可想而知，可是在Emmanuel Jeandel的匡助下，陶哲轩和Rachel Greenfeld改编了Aanderaa和Lewis的一些观念，某些档次结构被用来将一个问题编码另一个问题。
在这里，咱们解释分层结构（由于多米诺骨牌问题的二维性，需要使用两个不同的素数）。
社交皇冠信用盘搭建然后，通过公式用构建数独函数，它将体现某种镶嵌。
其中是两个不同的大素数（举例，不错取，），深入除以的次数，而况
是的伸开中的临了一个非零数字：
（，且）。
在的情况下，（1） 的第一个重量如下所示：
最终重量的典型实举例下所示：
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敬爱的是，不知为何，这里的荫庇基本上免除了儿童游戏「Fizz buzz」的轨则。
参考贵府：
红足1—世足球网https://terrytao.wordpress.com/2023/09/18/undecidability-of-translational-monotilings/